אי-האפשרות לרכוב אל הכפר הסמוך, המתוארת בקטע יפהפה זה של קפקא, מצטרפת אל שורה של טיעוני אי אפשר בכתיבתו. אם החיים קצרים להפליא, אם המשימות הפשוטות וההכרחיות ביותר הן מעל לכוחנו, הרי שלא רק אל הכפר הסמוך אי אפשר להגיע. גם אי אפשר להיכנס אל שער החוק, שנועד במיוחד בשבילנו, כי הוא מוגן על-ידי שומרי סף, שכל אחד מאיים יותר מחברו (קפקא, "לפני שער החוק"). אין גם כל אפשרות שדבר הקיסר יגיע אליך, הנתין העלוב היושב בקצווי מרחקים, כי הרץ הנשלח אליך עם הבשורה הקיסרית לעולם לא יעבור את אולמי ההיכל, וגם אם יחצה אותם, אינספור מדרגות מחכות לו, ואחריהן חצרות וטירות, ועיר הבירה כולה (קפקא, "דבר הקיסר"). גם אהבה אי אפשר לממש על-פי טקסטים שונים של קפקא. באחד ממכתביו למילנה יסנסקה הוא כותב:
מדוע, מילנה, את כותבת על עתיד משותף אשר, הלא, לעולם לא יקום ולא יהיה, או שמא דווקא משום כך את כותבת עליו? ...כה מעטים הם הדברים הוודאיים באמת, אך אחד מהם הוא, שלעולם לא נחיה יחד, בדירה משותפת, גוף אל גוף, ליד שולחן משותף, לעולם לא, אפילו באותה העיר לא נחיה.

אין ספק שחוסר האפשרות היא אחת מחוויות היסוד ביצירתו של קפקא, שאותה ביטא בכישרון אולי יותר מכל סופר אחר. מה שמיוחד ומטריד כל-כך באי האפשר הקפקאי הוא שהוא מיושם על הדברים הפשוטים והיומיומיים ביותר, ובמקרים רבים איננו מנומק. למה אי אפשר לרכוב אל הכפר הסמוך? למה אי אפשר להכיר את החוק שנועד במיוחד בשבילנו? למה אין כל אפשרות שלקפקא ולמילנה יהיה עתיד משותף? המימד האוניברסלי של חוסר האפשרות הקפקאי והיעדר ההנמקה מקנים לו אופי מסתורי, דתי כמעט. לעיתים הוא נראה פרדוכסלי, ועם זה יש בו משהו מטלטל ומשכנע, מעבר למילים שברוב המקרים אינן מסבירות אותו כלל.  

אולם שורשיו של מוטיב האי אפשר הם עתיקים יותר, ומהלכיו והסתעפויותיו התרבותיות הם מרתקים. הוגים רבים בתקופות ובתחומים שונים עסקו בו - גם אם לא בשמו המפורש ותחת כותרת אחת - באופן מנומק ומוכח, לעיתים עד כדי ודאות מתמטית, ולעיתים סיפקו את הביסוס הלוגי שקפקא איננו מספק וגם אינו רוצה לספק.

במאמר זה אנסה לעקוב אחרי מוטיב האי אפשר בגלגוליו השונים, בתקופות ובדיסציפלינות שונות, כגון פילוסופיה, מתמטיקה, פיזיקה ופסיכולוגיה. דווקא על רקע האנרגיות המדעיות, הטכנולוגיות והתרבותיות שמופנות אל אוטופיות ואל הרחבה מתמדת של גבולות האפשרי, מעניין לגעת במה שאינו אפשרי ולסמן את נוכחותו הדומיננטית.

צילום: עילית אזולאי, מתוך "ממצאים"2008 הגלריה במנשר ת"א, באדיבות גלריה דולינגר.

זינון ואי-אפשרות התנועה

זינון, שחי במאה החמישית לפני הספירה, היה תלמידו של פרמנידס, והפרדוכסים המפורסמים שלו יוצאים נגד אפשרות התנועה והשינוי. נביא כמה מהם:
"אפילו היתה התנועה אפשרית, לא יכול היה הרץ להשלים את מירוצו שכן הוא צריך לעבור את מחצית המרחק הכולל עד לסיום, ולאחר מכן את המחצית של המחצית הנותרת, ושוב את המחצית של המחצית הזו, וכך הלאה. כך שאי אפשר לעבור את המרחק הנתון בזמן סופי, כי בזמן זה יידרש הרץ לעבור מספר אינסופי של נקודות".

קשה להתעלם מהדמיון המדהים בין פרדוכס זה לבין טקסטים של קפקא כגון "הכפר הסמוך" ו"דבר הקיסר". מה שאצל זינון הוא טיעון מתמטי בעיקרו, הופך אצל קפקא לחוויה קיומית של חוסר אונים.

אולי המפורסם בפרדוכסים של זינון הוא אכילס והצב.

"אכילס, הזריז בגיבורי מלחמת טרויה, לעולם לא ישיג את הצב, אם רק יתחיל הצב לרוץ מרחק-מה לפניו. כי כאשר יגיע אכילס למקום ממנו התחיל הצב לרוץ, הרי זה יהיה כבר הלאה, במרחק הקטן מן המרחק הקודם ביניהם כיחס מהירויותיהם. כך, למשל, אם הצב מתחיל לרוץ מאה מטרים לפני אכילס ומהירותו של אכילס גדולה פי מאה ממהירות הצב, כי אז לכשיגיע אכילס למקום בו היה הצב בתחילת המרדף, זה האחרון יהיה כבר מטר אחד לפניו. ולכשיגיע אכילס למקום ההוא, כבר לא יהיה שם הצב, וחוזר חלילה".

כוונתו של זינון בפרדוכסים שלו היא להוכיח שהשינוי הוא אשליה ובכך לאשש את תורת מורו, פרמנידס, שהיש הוא אחד ובלתי משתנה או מתחלק. מעניין שדור אחד לפני זינון טען הרקליטוס טיעון הפוך, בעד שינוי מתמיד, שגם הוא מנוסח בתבנית של אי אפשר. כך למשל אמרתו המפורסמת של הרקליטוס, שאי אפשר להיכנס לאותו נהר פעמיים (שכן מי הנהר זורמים ללא הפסק, ולכן המים בהם נטבול בפעם השנייה הם כבר מים חדשים).

לפרדוכסים של זינון היתה השפעה רבה הן בפילוסופיה והן במתמטיקה, והניסיונות להתמודד איתם הביאו לפיתוח גופי ידע חדשים. כך למשל פותחו מושגי הגבול והחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי על-ידי ניוטון ואחרים, בין היתר כדי לתת מענה לזינון. במסגרת זו אפשר לראות כי סכום של אינסוף מספרים ממשיים חיוביים יכול להיות סופי, למשל
 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1כלומר, הסכום האינסופי הנ"ל מתכנס ל-1, מה שיכול להיחשב כפתרון הפרדוכסים של זינון.  טיעוני האי אפשר שנביא בסעיפים הבאים הם מבוססים ומטרידים יותר.

גלואה ואי-האפשרות לפתור משוואות

שלוש בעיות יסוד מתמטיות שנוסחו ביוון הקלאסית נשארו בלתי פתורות זה כאלפיים שנה.

1. האם אפשר, באמצעות מחוגה וסרגל, לחלק זווית לשלושה חלקים שווים.
2. האם אפשר, באמצעות מחוגה וסרגל, לבנות ריבוע ששטחו שווה לשטח מעגל נתון.
3. האם אפשר לפתור משוואות ממעלה גבוהה כפי שניתן לפתור משוואות ריבועיות.

לשלוש בעיות אלה ניתנה תשובה שלילית חד-משמעית. "אי אפשר", טען בעבודתו המתמטית המהפכנית  מתמטיקאי צרפתי צעיר בשם אווריסט גלואה. עצם התשובה השלילית מעלה אתגר מושגי: איך אפשר להוכיח שאי אפשר לעשות משהו? גלואה פיתח את תורתו מרחיקת הלכת בגיל צעיר ביותר ונהרג בדו-קרב לפני שהגיע לגיל 21. סיפור חייו של גלואה סופר פעמים רבות ובכל זאת ראוי לחזור ולתאר בקצרה חיים כל-כך יוצאי דופן השזורים אף הם במוטיב האי אפשר.

אווריסט גלואה נולד בשנת 1811. אביו היה ראש עיירה, ואימו היתה מורתו היחידה עד גיל 12. בבית-הספר לא הצטיין בלשון המעטה, ואפילו נשאר כיתה. אולם במקביל הוא גילה את המתמטיקה המודרנית, ובגיל צעיר להדהים הגיע אל קו החזית שלה ואף הצעיד אותו קדימה. הישגיו המהפכניים לא זכו להכרה בחייו. בגיל 17 נכשל גלואה בבחינות כניסה ל"אקול פוליטכניק". בגיל 18 הוא הוכיח שאי אפשר לפתור משוואות ממעלה 5 ומעלה. הוא שלח מאמרים לקושי, מגדולי המתמטיקאים בזמנו, ולכתבי עת מתמטיים, אך לא זכה לתגובה. באותה שנה התאבד אביו של גלואה, מה שהיווה מכה קשה עבור הבן. הוא ניסה שוב להתקבל ללימודים בפוליטכניק ושוב נכשל (אי אפשר). אחר-כך כתב מאמר חשוב נוסף ושלח אותו לפורייה, מתמטיקאי חשוב אחר, עבור פרס האקדמיה הצרפתית למדעים. פורייה מת חודשיים אחר-כך בלי שהספיק להציץ במאמר, והפרס הוענק לאחרים. המאמר עצמו אבד.  במידה מסוימת ניתן אולי לומר שחייו של גלואה נראים כסיפור קפקאי מאה שנים לפני עידן קפקא.
 
מגיל 19 החל גלואה לגלות מעורבות פוליטית עם נטיות רפובליקניות, ובתגובה גורש מבית-הספר. בשלב כלשהו הצטרף למיליציה רפובליקנית, גידף את המלך לואי-פיליפ בארוחה חגיגית ונאסר. הוא זוכה, אבל נאסר שוב ביום הבסטיליה בגין לבישת מדי מיליציה ונשיאת נשק. בכלא התבשר גלואה על דחיית מאמר נוסף שלו. הוא הועבר לפנסיון בשל מחלת כולירה שלקה בה בכלא, שם התאהב באישה בשם סטפני שדחתה את אהבתו (אי אפשר). הוא קבע דו-קרב עם גבר אחד, שמניעיו כנראה היו קשורים לסטפני. ערב הדו-קרב סיכם גלואה את מפעלו המתמטי במכתב ארוך לחבר, עם הערת שוליים: "אין זמן", כאילו ניבא ליבו שהוא עתיד למות. למחרת עם שחר (בשנת 1832) נפצע גלואה בדו-קרב. יתכן  ואפשר היה להציל אותו אילו זכה לטיפול רפואי מיידי, אבל הוא ננטש מדמם בשדה, ומת יום לאחר מכן.

עבודתו המתמטית של אווריסט גלואה סובבת גם היא סביב נושא אי-האפשרות. גלואה הוא מייסד תורת החבורות המודרנית, העוסקת במובן מסוים בחקר הסימטריה. גלואה פיתח תורה זו וקישר אותה עם תחום מתמטי אחר - תורת השדות - ועם האפשרות למצוא פתרונות למשוואות בנעלם אחד. כולנו יודעים שיש נוסחה לפתרון משוואה ריבועית, ונוסחאות דומות, אם כי מסובכות יותר, נמצאו לפתרון משוואות ממעלה 3 או 4. אך מה לגבי משוואות ממעלה 5 ומעלה?

תורת גלואה מתרגמת שאלה חשובה זו בתורת השדות לבעיה בתורת החבורות. לכל משוואה התאים גלואה חבורה, והראה שלחבורה זו תכונה אלגברית מסוימת הנקראת פתירות, אם ורק אם יש נוסחה לפתרון המשוואה הנתונה. מבחינה זו לתורת גלואה יש אופי אינטרדיסציפלינרי: היא מתרגמת בעיה בתחום אחד לתחום ושפה אחרים, שונים לחלוטין. באמצעות פיתוח תורת החבורות מצא גלואה חבורות לא פתירות רבות, והסיק שאין נוסחה לפתרון משוואות כלליות ממעלה 5 ומעלה.

התורה שפיתח, שמכלילה תוצאות קודמות של אבל, גם מראה שאי אפשר לחלק זווית לשלושה חלקים שווים באמצעות מחוגה וסרגל, או לרבע את המעגל. בכך נתן גלואה פתרון שלילי (פסימי אם תרצו) לבעיות עתיקות יומין, אך גם סיפק כלים ושפה חדשה שאי אפשר להגזים בחשיבותה והשפעתה על המתמטיקה המודרנית.

רק בשנת 1846, ארבע-עשרה שנה אחרי מות גלואה, פורסמו כמה ממאמריו, על קריטריון לפתירות משוואות, ואי-האפשרות לחלק זווית לשלוש. רק ב-1897 פורסמו כל כתביו שנשמרו. כיום נחשב גלואה כמייסד תורת החבורות המודרנית ואחד המתמטיקאים המזהירים של כל הזמנים. מה שהספיק בגילים 17-20 מספיקים בודדים בחיים שלמים, ואולי המיתוס שמתמטיקאים מגיעים לשיאם בגיל צעיר - שיש לו גם יוצאי-דופן רבים - מושפע מחייו וממותו של גלואה.

הפסיכואנליזה ושאלת אפשרותו של האושר

המעבר מהמאה ה-19 למאה ה-20 לווה במהפכות מחשבתיות רבות, ואחת הבולטות שבהן היא הפסיכואנליזה. לפסיכואנליזה ולעבודתו הקולוסאלית של פרויד יש יחס דיאלקטי למושג האי אפשר: מבחינות מסוימות היא מאששת אותו, מבחינות אחרות היא נלחמת בו.  

עצם הטיעון, שחלק עיקרי ומהותי בחיי הנפש שלנו אינו מודע, כלומר לא נגיש לתודעתנו, מאשש את מושג האי אפשר: הידע שלנו על עצמנו הוא מוגבל וחלקי; לעיתים קרובות אין אנו מבינים את הסיבות להתנהגותנו; ישנם מנגנוני הדחקה חזקים שכל תפקידם הוא להסתיר מאיתנו את עצמנו; אנחנו מופעלים על-ידי דחפים, אירועים ותבניות הקשורים לילדות המוקדמת, שאין לנו כל גישה ישירה אליהם.

כמובן שהפן השני הוא שהתורה והטיפול הפסיכואנליטי מתיימרים לספק מפתח לחשיפת והבנת הלא-מודע, ובכך להפיכת הלא-נגיש לנגיש, והבלתי אפשרי לאפשרי. יש החולקים על כך, אבל גם הפרוידיאנים האדוקים ביותר יודו שאפשרויות ההבנה העצמית של האדם הממוצע, זה שאינו עובר אנליזה ממושכת, הן מוגבלות ביותר, ושאזורים נרחבים בנפש האדם הם חשוכים, וחיוניותם מתקיימת רק בחשכה.

נושא אחר שיש לפסיכואנליזה זיקה אליו היא האפשרות לאושר. כאן אולי מוטיב האי אפשר בולט עוד יותר. ראשית, אם אחד התנאים לאושר הוא הכרת עצמנו ומשאלותינו, הרי שסימן שאלה גדול ניצב על אפשרותו. מעבר לכך, ידוע המושג שטבע פרויד - "תרבות בלא נחת". השתייכות לחברה ולתרבות פירושה בין השאר ויתור על אינסטינקטים המוטבעים עמוק בתוכנו, ואי יכולת לממש מאוויים כמוסים. החיים הבוגרים של בני תרבות אינם חיים של נחת על-פי פרויד, אלא חיים של ויתורים ופשרות, ודרגות שונות של סבל וחוסר סיפוק הם חלק בלתי נפרד מהם. אי אפשר לחסל את הסבל, אפשר לכל היותר לנהל אותו. אי אפשר לפתור קונפליקטים בסיסיים, אפשר לכל היותר לנסות להבין ולהכיל אותם.  

כל תרבות יוצרת בהכרח מצוקות נוירוטיות, והתרבות המודרנית, שיצרה אמנם רווחה פיזית, לא הפכה את בני האדם למאושרים יותר. הסדרת היחסים בין הפרטים בחברה מלווה בהכרח בשלילת חירות ובדיכוי תשוקות ויצרים. שני כוחות מרכזיים שולטים, על-פי פרויד, בחיי הנפש שלנו: הארוס והתאנטוס. הארוס הוא גם דבק חברתי ותרבותי, אך נובע מיצר המין שאינו ניתן לסיפוק חופשי במסגרת כללי החברה והתרבות. התאנטוס, מצד שני, הוא יצר ההרס והתוקפנות הטבוע עמוק בתוכנו ומהווה אף הוא מקור של עונג. זהו הכוח עליו מטילה התרבות את המגבלות החמורות ביותר.

ניתן אם כן לומר כי מצד אחד מגינים עלינו כללי החברה והתרבות, אך על הגנה זו אנו משלמים מחיר כבד ביותר. שני הכוחות העמוקים והקמאיים ביותר המפעילים אותנו נידונים להסדרה ותיעול, עד כדי דיכוי. האושר, לפחות בהגדרות מסוימות שלו הקשורות במימוש חופשי של תשוקות, שנאות, כעסים ומאוויים, הוא בלתי ניתן להשגה.

יותר מזה, על-פי פרויד המושא האמיתי של תשוקותינו הוא נסתר ושונה מהמושא הנגלה אותו אנו מנסים להשיג. במובן זה, אפילו אם נשיג את המושא הנגלה, הוא בעצם רק תחליף,  ואנו נידונים להחטיא את מושא תשוקותינו, כמו שהחץ באחד הפרדוכסים של זינון לעולם לא יפגע במטרתו.

גדל ומשפט אי-השלמות

בסוף המאה ה-19 ובתחילת המאה ה-20 התפתחה הלוגיקה המתמטית ושינתה את תפיסתנו לגבי מהות המתמטיקה ויחסיה עם העולם. בעת העתיקה, אצל היוונים והבבלים, נחשבה המתמטיקה כמדע טבע, שנועד לתאר עובדות גיאומטריות ואריתמטיות החלות בעולם הפיזיקלי בו אנו חיים. כך למשל הגיאומטריה האוקלידית, שפותחה באופן אקסיומטי, נחשבה ככלי מדויק לצרכים הנדסיים, חקלאיים ואחרים. האמונה היתה שהאקסיומות הגיאומטריה האוקלידית חלות על העולם האמיתי ומתארות אותו, ולכן גם תוצאותיהן. למשל, משפט פיתגורס ומשפטים קלאסיים אחרים, אכן חלים על המציאות החיצונית.

במאה ה-19 פותחו גיאומטריות אלטרנטיביות, כגון גיאומטריה היפרבולית וגיאומטריה אליפטית. האקסיומות שלהן דומות בחלקן לאקסיומות האוקלידיות, אבל אקסיומת המקבילים (קיום מקביל יחיד לישר נתון העובר דרך נקודה נתונה מחוץ לישר זה) אינה מתקיימת בהן. השאלה איזה מהגיאומטריות השונות מתארות את העולם בו אנו חיים הפכה לשאלה פיזיקלית ופילוסופית, לא מתמטית. לפי תפיסה זו, ופיתוחה הלוגי על-ידי פרגה, הילברט, ראסל ואחרים, אין תפקיד המתמטיקה לתאר את העולם האמיתי, אלא לגזור מסקנות תקפות ממערכות אקסיומות שונות.

בתפיסה זו יש כבר ויתור מסוים: ההכרה שאי אפשר לצפות מהמתמטיקה לתאר את העולם האמיתי, או ביתר דיוק, שהשאלה האם תורה מתמטית כלשהי מתקיימת במציאות הפיזיקלית איננה שאלה מתמטית. אולם היתה בה גם יומרה ניכרת: לתרגם את כל התורות המתמטיות לשפה פורמלית לוגית ואת כל הטיעונים וההוכחות המתמטיות להוכחות פורמליות הניתנות באופן עקרוני להיבדק ואף להיווצר על-ידי מחשב (אם כי מושג המחשב פותח קצת אחר-כך על-ידי אלן טיורינג ואחרים). תוכנית לפורמליזציה כזאת של המתמטיקה הלהיבה רבים בתחילת המאה ה-20. דויד הילברט, מגדולי המתמטיקאים באותה תקופה, האמין שניתן באופן זה לפתור, עקרונית, כל בעיה מתמטית.

כאשר עוסקים במערכות אקסיומטיות והוכחות פורמליות, יש שתי דרישות טבעיות מהמערכת: שתהיה עקבית, ושתוכל להכריע לגבי תקפות טענות שונות בתוכה. במערכת לא עקבית סותרות האקסיומות השונות זו את זו, והתוצאה היא שאפשר להוכיח דבר והיפוכו, ובעצם אפשר להוכיח כל דבר. מערכת כזאת כמובן איננה רצויה או מעניינת, ונראה שהמינימום ההכרחי שנרצה לדרוש מתורה מסוימת הוא שנוכל להוכיח את עקביותה. הדרישה השנייה שהוזכרה קודם נקראת לפעמים שלמות. פירוש הדבר שכל טענה המנוסחת בשפת המערכת ניתנת להוכחה או להפרכה בתוך המערכת, ושכל דבר "נכון" ניתן להוכחה.

הוכחות שמערכות מסוימות הן אכן עקביות ושלמות ניתנו, למשל, לגבי תחשיב הפסוקים המבטא את הלוגיקה הבוליאנית, ותחשיב היחסים העשיר יותר. התקווה היתה להוכיח זאת עבור מערכות מתמטיות מורכבות יותר, כגון תורת המספרים. בשנות השלושים של המאה הקודמת הפתיע לוגיקאי אוסטרי בשם קורט גדל את העולם המתמטי בהוכיחו שאלו תקוות שווא. משפטי אי-השלמות של גדל מראים בדיוק ההיפך: שכל תורה מתמטית מספיק מורכבת אינה מאפשרת להוכיח את עקביותה בתוכה, וכן שאם היא עקבית - אזי קיימים בשפתה טענות שאי אפשר להוכיח או להפריך.

הוכחת משפט אי-השלמות של גדל היא ארוכה וטכנית, אולם הרעיון המרכזי בה הוא פשוט. גדל מראה שבמערכת מתמטית מורכבת מספיק ניתן לנסח משפט מהצורה: אי אפשר להוכיח אותי. אם אפשר להוכיח משפט זה, אז הוא לא נכון ולכן לא ניתן להוכחה או לסתירה. לכן לא ניתן להוכיח משפט זה, מה שהופך אותו לנכון, ולכן גם לא ניתן להפריך אותו.        

משפט גדל זכה לתהודה רבה ושינה את התפיסה המתמטית והלוגית שלנו מן הקצה אל הקצה. הוא הראה שתוכניתו השאפתנית של הילברט לפיתוח המתמטיקה במסגרות פורמליות בהן ניתן עקרונית לפתור כל בעיה נידונה בהכרח לכישלון. אי אפשר להגשים אותה. בהדרגה ניתנו גם דוגמאות קונקרטיות לטענות שאינן ניתנות להוכחה או להפרכה. אחת מהן היא השערת הרצף של קנטור בתורת הקבוצות. רבים הגיבו בפסימיות לתגליתו של גדל, והמאמצים להצרנה כוללת של המתמטיקה דעכו בהדרגה.  

לדעתי, אולי יש גם פן חיובי בחוסר ההיתכנות של תוכניתו של הילברט. אילו התגשמה, היתה המתמטיקה הופכת למשהו מכני, כפופה למדעי המחשב, שכן מחשבים היו יכולים עקרונית (בהשקעת זמן מספיקה) לפתור כל בעיה מתמטית. בעצם העובדה שאין הדבר כך, יש גם מקור לאופטימיות: מותר האדם על המחשב.  

עקרון אי-הוודאות של הייזנברג ודיאגנוזה רפואית

בשנת 1927 הראה הפיזיקאי הגרמני וורנר הייזנברג כי אי אפשר למדוד במדויק גם את התנע וגם את המיקום של חלקיק אלמנטרי. גם אם נשתמש באמצעי מדידה מדויקים ביותר, עדיין ככל שהדיוק במדידת התנע של אלקטרון למשל יגדל, כך יקטן הדיוק במדידת מיקומו. באופן מתמטי הראה הייזנברג שמכפלת אי-הוודאות במיקום ואי-הוודאות בתנע גדולה או שווה לקבוע אוניברסלי חיובי מסוים, הקשור לקבוע פלנק .זהו עקרון תיאורטי שאינו קיים בפיזיקה הקלאסית וגם אינו קשור לאופן בו מתבצעת המדידה.

לפעמים ממחישים תופעה זו על-ידי עקרון אחר, על-פיו משנה המדידה את האובייקט הנמדד. למשל, כדי למדוד מיקום של אלקטרון יש לשלוח לעברו קרן אור, המורכבת מפוטונים. פוטון שפוגע באלקטרון ומוחזר אל מכשיר המדידה יכול לתת מושג על מיקום האלקטרון. אבל התנע של האלקטרון ישתנה על-ידי פגיעת הפוטון בו, מה שיגרום לאי-ודאות בתנע שלפני הפגיעה. ככל שאורך הגל של הפוטון קצר יותר, כך תהיה מדידת המיקום מדויקת יותר, ומדידת התנע מדויקת פחות.

עקרון זה, הרואה במדידה תהליך אקטיבי המשנה את האובייקט הנמדד, קיים במידה רבה גם באבחנה רפואית. צילום הרנטגן, שהופיע בשנת 1895, היווה פריצת דרך בהקשר זה. אולם קרינת הרנטגן, שהיא בעלת אורך גל קצר יותר מקרני האור, ולכן חודרנית יותר, גם עלולה לפגוע בתאי הגוף ולגרום שינויים לא רצויים. לצרכים רבים אין צילום הרנטגן מדויק מספיק. שיטות הדמיה ממוחשבת (CT) שפותחו לאחרונה מאפשרות מדידות ברזולוציה גבוהה יותר ואבחנות מדויקות יותר. אולם הקרינה הנפלטת בהן גבוהה יותר וכך גם הסיכון לשינויים (מוטציות) בתאי הגוף, שיכולים להוביל לסרטן ולמחלות אחרות.
 
סיכון דומה קיים גם במיפויים למיניהם, בהם מוזרק חומר רדיואקטיבי לחולה והתפשטותו בגוף נמדדת וחושפת פתולוגיות. כהכללה, ככל שהגוף נחשף ליותר קרינה - כך המידע האבחנתי המופק מדויק יותר, אך המחיר הוא שהשינויים החלים בגוף גדולים יותר, ועלולים לסכן בעצמם את החולה. אין זה מקרה ששני הממציאים הגדולים בתחום, וילהלם רנטגן ומארי קירי, מתו מחשיפת יתר לקרינה. בנוסף לכך, למרות כל האמצעים החדישים והחודרניים, אי אפשר לקבוע אבחנה בוודאות, והראייה שמתרחשות טעויות.

ההשקפה הקלאסית, על-פיה אפשר למדוד פרמטרים שונים בו-זמנית בדיוק בלתי מוגבל, התערערה במאה ה-20. כל מדידה היא התערבות, ויש גבולות לדיוקה ולתועלתה. עקרון אי-הוודאות של הייזנברג הוא אחד משורה של תגליות החושפות את מגבלות הידע שלנו. האנלוגיה הרפואית שתיארנו מראה גם שהניסיון להשיג ידע מושלם על גופנו, כדי לאבחן ולרפא, עלול לחשוף אותנו לסכנות חדשות, אולי חמורות יותר. אי אפשר לדעת הכל, וככל שיודעים יותר מסתכנים יותר.  

צילום: עילית אזולאי, מתוך "ממצאים"2008 הגלריה במנשר ת"א, באדיבות גלריה דולינגר.

חומר אפל ואנרגיה אפלה

אחד הביטויים הקיצוניים והעדכניים ביותר של מוטיב האי אפשר נמצא בתיאוריות אסטרופיזיקליות הקשורות לחומר אפל ולאנרגיה אפלה. כבר במחצית הראשונה של המאה ה-20 גילו מדענים שכמות החומר הנראה בגלקסיה שלנו - שביל החלב - אינו מספיק כדי להסביר את הדינמיקה שלה ואת תנועות הכוכבים. בהמשך התגלה מצב דומה בגלקסיות אחרות, ונראה היה שחייבים להניח את קיומו של חומר בלתי מאיר, בלתי נראה, בגלקסיות, שניכר בכוחות הגרביטציה שהוא מפעיל. חומר זה נקרא חומר אפל. יתר על כן, ממדידות ומחישובים שונים נובע שכמות החומר האפל בגלקסיה ממוצעת עולה פי עשר ויותר על כמות החומר הנראה.  

מכאן נובע שאי אפשר לראות את מרבית החומר ביקום שלנו. כמו כן הרכבו של רוב החומר ביקום אינו מובן, ונראה שהוא מורכב מחלקיקים אלמנטריים לא מוכרים, כגון אקסיונים, שאינם חלק מהפיזיקה החלקיקית הסטנדרטית, ולא נצפו מעולם.

תורה דומה, חדשה יותר, פותחה לגבי האנרגיה ביקום. עד תחילת המאה ה-20 נחשב היקום לסטטי. אבל בשנת 1929 גילה האסטרונום האבל, בעזרת אפקט ההסחה לאדום של קרינה מגלקסיות רחוקות, שהיקום מתפשט. השאלה שנותרה פתוחה היא האם היקום יתפשט לנצח, או שכוח המשיכה יעצור בהדרגה את ההתפשטות.

לפני כעשר שנים ניתנה לשאלה זו תשובה מדהימה. על סמך צפייה בסוג מסוים של סופר-נובה הצליחו אסטרונומים למדוד את קצב התפשטות היקום בנקודות זמן שונות בהיסטוריה שלו. הם הופתעו למצוא שלא רק שהתפשטות היקום אינה דועכת, אלא היא הולכת ומואצת עם הזמן. על-פי תגלית זו לא רק שהיקום יתפשט לנצח, גם הכוכבים והגלקסיות מתרחקים זה מזה במהירות גוברת והולכת, והיקום יעשה יותר ויותר קר, חשוך וריק.

קשה להסביר את ההתפשטות המואצת של היקום. אפשר היה להניח שבעקבות המפץ הגדול לפני כ-14 מיליארד שנה, החלו הגלקסיות להתרחק זו מזו. אבל כוחות הגרביטציה ביניהן אמורים להקטין את קצב ההתפשטות, ובמקום זה הקצב דווקא הולך וגדל. ההסבר שניתן הוא שקיים ביקום כוח דחייה מסתורי שמרחיק עצמים זה מזה, וכוח זה חזק כל-כך שהוא גובר על כוח המשיכה. האסטרופיזיקאים קוראים לכוח זה בשם אנרגיה אפלה.  

כבר בשנת 1917 שיער איינשטיין את קיומו של כוח זה, וקרא לו הקבוע הקוסמולוגי, אולם אחר-כך חזר בו מהשערתו. רק בשנת 1998 קיבלה תיאוריה זו חיזוק אמפירי מרשים, עם גילוי התפשטותו המואצת של היקום, שהיא אולי התגלית המדעית המפתיעה של סוף המילניום.

כשם שמרבית החומר ביקום הוא אפל ואי אפשר לצפות בו או להסבירו, כך גם מרבית האנרגיה ביקום. לפי תיאוריות עדכניות, 73 אחוזים מהיקום מורכבים מאנרגיה אפלה (כוח דחייה מסתורי ולא מובן), 23 אחוזים הם חומר אפל (שאי אפשר לצפות בו והרכבו לא ברור). רק ארבעה אחוזים מהיקום מורכבים מחומר ומאנרגיה שיש לנו אפשרות להבינם, והחומר המוכר לנו המרכיב את הכוכבים בגלקסיות השונות מהווה רק 0.4 אחוז מהיקום. אין ספק, שתיאוריות אסטרופיזיקליות אלו של סוף המילניום מעלות את מושג האי אפשר ואת המוגבלות האינהרנטית של הידע שלנו לרמות חסרות תקדים.

אפילוג

הפילוסוף אלכסנדר קוירה כתב בשנות השישים של המאה הקודמת, שהטרגדיה של האדם המודרני היא בכך שאמנם הוא פתר את חידת היקום, אך החליפה בחידת מהותו שלו.  היום, בתחילת המאה ה-21, על רקע התגלית שהיקום מורכב ברובו מאנרגיה אפלה ומחומר אפל, קשה לראות את חידת היקום כפתורה, והמחצית האופטימית באמרתו של קוירה מתנדפת. הנפש והעולם נראים מסתוריים באותה מידה, וגדושים חומרים אפלים, לא נגישים, שאי אפשר להאירם.  

ההקבלה בין אנרגיות וחומרים אפלים בנפש וביקום, בין טיעונים פסיכואנליטיים מסוף המאה ה-19 לטיעונים קוסמולוגיים מסוף המאה ה-20, מפתיעה ומסקרנת. גם לטיעונים העתיקים של זינון נגד אפשרות התנועה, שעברו טרנספורמציות קיומיות חובקות-כל אצל קפקא (שלעולם לא ינוע אל מילנה), יש מקבילות פסיכואנליטיות: התשוקה שאינה מגיעה אל מושאה האמיתי ונידונה להסתפק בתחליפים, אשליית התנועה והשינוי אצל מטופל נייח לחלוטין (למשל עקב חזרה כפייתית).

טיעוני אי אפשר ניתן לחשוף בתחומים רבים נוספים, כגון כלכלה ותורת המשחקים, חישוביות ומדעי המחשב, משפטים ומדע המדינה, וכן בתורתו של קרל פופר, על-פיה במדע אי אפשר להוכיח תיאוריות נכונות, אלא אפשר לכל היותר להפריך תיאוריות שגויות (ואם תורה אינה ניתנת עקרונית להפרכה, סימן שאינה מדעית).

החשיבה המדעית הרציונלית נשענת על האמונה שאם נאסוף מספיק נתונים, נבצע מספיק מדידות וננתחן תוך שימוש בכלים מתמטיים ואחרים, נוכל להסביר כל דבר. עקרון אי-הוודאות של הייזנברג תוחם גבולות ליכולת המדידה שלנו, ומשפט גדל תוחם גבולות ליכולת ההוכחה, ההפרכה והסקת המסקנות. לא משנה כמה מדידות נבצע, כמה תורות מתמטיות נפתח, כמה מחשבים נריץ - חלק גדול מטבעו של העולם יישאר עלום, בלתי מוכח ובלתי מובן.   

מה ניתן להסיק מכך?  רבים ימשיכו בחיפוש ובמחקר המדעי, וגם אם אנחנו מגרדים את גבולות יכולתנו, לעולם לא נוותר על הרחבתם. יהיו שיאמרו שהוכחות אי אפשר בתחומים כה רבים מהוות בעצמן הישג עמוק, אם תרצו - סוג של אפשר. אפשר גם להרהר או לערער על ההיבט התרבותי של סביבה שמניחה שאפשר לדעת או להוכיח כל דבר, ובכך הופכת סוגיות ערכיות או פילוסופיות לבעלות צביון טכני גרידא. אחרים אולי יפנו לאמונה או לאתיקה או אסתטיקה כתחליף להוכחה מתמטית או לביסוס מדעי: טענות שאי אפשר להוכיח או להפריך עדיין אפשר לאמץ או לדחות באמצעות אמונה או רצון או דמיון או יצירה. האם לכך התכוון קפקא בשורות המרגשות הבאות המסיימות את הקטע "דבר הקיסר"?

"אין איש בעולם אשר יכול להידחק ולעבור כאן, ומה גם נושא בשורתו של אחד שאיננו עוד בחיים. אבל אתה יושב אל חלונך ורוקם אותה לך בדמיונך, עם רדת הערב".