לכאורה, אמת ומתמטיקה שזורות זו בזו. מושג האמת במתמטיקה נראה פחות מעורפל ובעייתי מאשר בכל תחום מדעי אחר, והוודאות המתמטית היא משאת נפש ומודל לחיקוי למרבית תחומי המחקר. אלה כוללים אפילו את מדעי הרוח, ובעיקר פילוסופיה (ופילוסופיה אנליטית במיוחד) ובלשנות (למשל, בלשנות גנרטיבית).

במדעי החברה (כמו סוציולוגיה, פסיכולוגיה וחינוך) דוחקות לאחרונה שיטות כמוּתניות ומתמטיות (המבוססות, למשל, על סטטיסטיקה) שיטות קלסיות איכותניות, וההנחה הסמויה היא, ששפה וכלים מתמטיים (או פסאודו-מתמטיים) מעניקים חותמת כשרות של אמת וודאות.  

במדעי הטבע השימוש במתמטיקה הוא, כמובן, עתיק יומין עוד יותר. תחומים מתמטיים קלסיים רבים (כגון החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ומשוואות דיפרנציאליות) פותחו ממוטיבציות פיזיקליות שונות. אבל, למרות השימוש בכלים מתמטיים מורכבים, גם במדעי הטבע תיאוריה אחת מחליפה וסותרת תיאוריה שנייה, ויש תורות מרכזיות (כגון תורת המיתרים), שאין לאיש מושג אם הן נכונות. לעומת זאת, האמיתות המתמטיות הן נצחיות. באסטרונומיה, קופרניקוס היה צריך לסתור את אריסטו כדי להיות קופרניקוס; בפיזיקה, אינשטיין היה צריך לסתור את ניוטון כדי להיות אינשטיין; אבל התורות המתמטיות נבנות זו על זו, ולא זו במקום זו.

מתמטיקה היא, כנראה, הדיסציפלינה היחידה שבה כל חוקר נבנה על הישגי קודמיו, ולא על שלילת תורות קודמות. זו גם הסיבה למורכבות העצומה של הוכחות מתמטיות מסוימות, שנבנות נדבך על נדבך ויכולות לאכלס מאות ואלפי עמודים. לדוגמה, מיון החבורות הפשוטות הסופיות – אחד ההישגים המרשימים של האלגברה בכל הזמנים – מתפרש על פני כ-15,000 עמודים, שנכתבו על-ידי מתמטיקאים רבים (אם כי כיום יש גישה חדשה, שכנראה מניבה הוכחה "קצרה" של כ-5,000 עמודים).

עצם מושג ההוכחה כמפתח לזיהוי האמת, שהחל בגיאומטריה האוקלידית ונמשך עד הוכחת משפט פרמה ועד בכלל, נראה ייחודי למתמטיקה ומעניק לה ודאות מעוררת קנאה.  אכן, יש לרוב קונצנזוס סביב הוכחות במתמטיקה, וגם אם מתפרסמות לעתים הוכחות שגויות, הדבר מתגלה. אבל מהי בעצם הוכחה, ומהי האמת במתמטיקה, והאם האמיתות המתמטיות הן אכן ודאיות וניתנות תמיד להוכחה?   

איור: מייקל פאוקנר Michael Paukner ©
 

על מה מדברת המתמטיקה

בראשית ימיה נחשבה המתמטיקה למדע טבע, והאמיתות המתמטיות - לאמיתות המתארות את העולם הפיזיקלי שבו אנו חיים. שני ענפי המתמטיקה הקדמונים היו אריתמטיקה (חשבון) וגיאומטריה, וההשקפה הייתה ששניהם מתארים את העולם החיצוני. למשל, פעולות חיבור וחיסור היו שימושיות למסחר, וגיאומטריית המישור הייתה שימושית לחקלאות ולחישובי שטחים. מבחינה זו לא היה הבדל מובהק בין אמת מתמטית ואמת פיזיקלית.

אבל אם כך הדבר, מהיכן מקור הוודאות המיוחסת לטענות מתמטיות? מה מאפשר לתבונה שלנו היכרות אינטימית כל-כך עם העולם החיצוני, אם אכן בו עוסקת המתמטיקה ואותו היא מתארת? ואם המתמטיקה אינה עוסקת בו, במה היא עוסקת בעצם?

לשאלות אלה ניתנו לאורך השנים תשובות רבות. אפלטון האמין בצורות, או אידיאות, שהן נצחיות ולא משתנות, ושאפשר להגדירן במדויק ובאופן בלתי תלוי בתפיסת החושים שלנו.  בין אידיאות אלה הוא כלל את המספרים ואת הצורות הגיאומטריות (נקודות, ישרים, משולשים, מעגלים).  המתמטיקה, לדעת אפלטון, עוסקת בעצמים אלה וביחסים ביניהם, שהם קבועים, אוניברסליים ובלתי משתנים.  מבחינה זו, המתמטיקאי אינו יוצר עולמות או משפטים חדשים, אלא רק חושף אמיתות שקיימות בעולם מאז ולתמיד.

אריסטו התנגד להפרדה אפלטונית זו בין צורות ואידיאות לבין עצמים פיזיים והדגיש את הקשר שבין המתמטיקה ומדעי הטבע. לדעתו, המתמטיקה היא באמצע הדרך בין הפיזיקה למטאפיזיקה, והיא עוסקת בסימטריה ובסדר שהם ממרכיבי היופי.

הייתה זו תורתו של הפילוסוף עמנואל קאנט, כאלפיים שנה מאוחר יותר, שהציעה גישה חדשה ומקורית למכלול נושאים, ובכללם למהות המתמטיקה. לדעת קאנט, העולם, כפי שאנו תופסים אותו בחושינו ובשכלנו, הוא שילוב של שני מקורות: העצם כשהוא לעצמו, שהוא חיצוני לנו, והעיבוד התבוני שלנו, שהוא תוצאה של המבנה הפנימי שלנו.  מושגי החלל והזמן שייכים, על-פי קאנט, לקטגוריה השנייה: הם  צורות ארגון של התבונה שלנו שאנו משליכים על העולם, והם אינם קיימים בעולם החיצון.

לדעת קאנט, החלל והזמן הם אובייקטים מתמטיים: הגיאומטריה עוסקת בחלל, והאריתמטיקה בזמן.  יכולתנו להכיר אותם ולהסיק מסקנות מתמטיות ודאיות ואוניברסליות נעוצה בעובדה, שהחלל והזמן הם יצירי התבונה שלנו. על העצם כשהוא לעצמו אין אנו יכולים לומר כלום ישירות, כי הוא חיצוני לנו.  המתמטיקה אפשרית וודאית כי האובייקטים בהם היא עוסקת הם פנימיים: צורות ארגון של התבונה האנושית שניתנות להכרה על-ידיה, בבחינת רק על עצמי לספר ידעתי.    

איך מדברת המתמטיקה

כמו בספרות, גם במתמטיקה האיך חשוב לא פחות מהמה. במילים אחרות, השאלה במה עוסקת המתמטיקה אינה ממצה את מהותה. שאלה חשובה לא פחות היא איך – באילו שפה וכלים עוסקת המתמטיקה באובייקטים שלה.

מתמטיקה היא שפה, ואי-אפשר להבין אותה בלי ללמוד קרוא וכתוב, בלי לדבר את השפה המתמטית (שאינה השפה של המאמר הזה). השפה המתמטית חוצה גבולות ועמים, ועם זאת, מעטים מדברים אותה. זו שפה ששורשיה בעולם העתיק, אבל היא לא חדלה להתפתח, ומילים חדשות מומצאות ללא הרף. חלק ממילים אלה – למשל, קבוצה, חבורה, שדה, חוג, יריעה, אלומה, בסיס - נשמעות מוכרות לכולנו, אבל משמעותן המתמטית שונה לגמרי ממשמעותן בשפות טבעיות.  
 
גם הכלים המתמטיים הם ייחודיים, והבולט ביניהם הוא ההוכחה. ביוון העתיקה פותחה השיטה האקסיומטית, על-פיה מוכיחים משפטים מתמטיים תוך שימוש באקסיומות וכללי היסק. כדי לדעת, למשל, שמשפט פיתגורס הוא אמיתי, אין צורך למדוד אורכי צלעות של משולשים ישרי זווית המשורטטים במציאות (ממילא ניתן לבצע רק מספר מדידות סופי, שאינו חל על כל המשולשים, והמדידות אינן מדויקות), אלא מספיק להסיק אותו מן האקסיומות של אוקלידס. ההנחה המובלעת הייתה שברור מאליו שאקסיומות אלה נכונות (חלות על העולם בו אנו חיים), ולכן גם כל מה שנובע מהן הוא אמיתי. בהמשך עלו ספקות לגבי הנחה זו, במיוחד לגבי אקסיומת המקבילים, שאת תקפותה בעולם אין אפשרות מעשית לוודא. מנין הביטחון שדרך נקודה שמחוץ לישר נתון ניתן להעביר מקביל יחיד לאותו ישר? אולי יש דווקא כמה מקבילים שונים? או אף אחד?

במאה התשע-עשרה קיבלו גישות אלה ביטויים מתמטיים מדויקים. נבנו מערכות אקסיומות לגיאומטריית המישור שאינן כוללות את אקסיומת המקבילים. פותחה גיאומטריה אליפטית, שבה אין כלל ישרים מקבילים וסכום הזוויות במשולש גדול מ-180 מעלות (ניתן לחשוב על פני כדור תלת-ממדי כעולם בו גיאומטריה זו חלה). כמו כן פותחה גיאומטריה היפרבולית, שבה סכום הזויות במשולש קטן מ-180מעלות. בכל שלוש הגיאומטריות (אוקלידית, אליפטית, היפרבולית) ניתן להוכיח משפטים, אבל כיצד נדע אם משפטים אלה אכן מתארים את העולם האמיתי?

בסוף המאה התשע-עשרה ותחילת המאה העשרים פותחה השקפה חדשה, על-פיה אמת מתמטית אינה נכונות בעולם הפיזיקלי, אלא גזירה תקפה של מסקנות מהנחות (אקסיומות). לדוגמה, משפט פיתגורס עצמו אינו אמת מתמטית, אבל גזירתו מהאקסיומות של אוקלידס היא אמת כזו. במערכת אקסיומות אחרת הוא לא יהיה נכון.  על-פי השקפה זו, תפקיד המתמטיקה אינו חקר המציאות, אלא הסקת מסקנות מהנחות. הסקה זו (הוכחה) צריכה להיעשות על-פי כללים לוגיים ברורים ובשפה מתמטית פורמלית, והלוגיקה המתמטית שהתפתחה מאוד באותה תקופה, ניסתה לתאר כללים ושפות אלה (תחשיב פסוקים, תחשיב יחסים, וכולי).

גישה זו מנתקת במובן מסוים את המתמטיקה ממדעי הטבע והופכת אותה לענף של  הלוגיקה. יתר על כן, ההוכחה הפורמלית היא סדרה סופית של סמלים שניתנת להיבדק, ואולי אפילו להיווצר, על-ידי מחשב. תקוותם של גוטלוב פרגה, דייוויד הילברט, ברטרנד ראסל ואחרים הייתה להצרין את כל ענפי המתמטיקה הקיימים וליצור מערכות, שבהן כל משפט נכון יהיה ניתן להוכחה פורמלית, וכל משפט אפשר יהיה להוכיח או להפריך. היה זה לוגיקאי אוסטרי בשם קורט גדל, שהפתיע את העולם המתמטי בהראותו כי תקווה זו אינה ניתנת להגשמה.

בין איך ומה: משפט גדל ותוצאותיו

בשנות השלושים של המאה העשרים הוכיח גדל את משפט אי-השלמות. כדי להבין משפט זה ראוי לומר כמה מילים על סינטקס וסמנטיקה. סינטקס היא מערכת אקסיומות וכללי היסק פורמליים בשפה נתונה, שמאפשרת להוכיח משפטים.  למשל, השפה יכולה להיות השפה של תורת המספרים, והמשפט המוכח יכול להיות משפט פרמה המפורסם.  המשפטים שניתן להוכיח יהיו נכונים בכל מבנה (מודל) שמקיים את האקסיומות של התורה. המבנים הנ"ל הם מערכות סמנטיות, ומושג הנכונות (במבנה נתון) הוא מושג סמנטי. מושג ההוכחה, לעומת זה, הוא מושג סינטקטי, והתכנית השאפתנית של הילברט וראסל הייתה לבנות מערכות סינטקטיות עבור המספרים הטבעיים, ומערכות סמנטיות אחרות, שבהן כל מה שנכון יהיה יכיח (ניתן להוכחה).

את הקשר הנכסף הזה בין סינטקס וסמנטיקה ניתק גדל במשפט אי-השלמות שלו. הוא הראה שבכל מערכת אקסיומות עבור המספרים הטבעיים – או כל מערכת סמנטית מורכבת מספיק – יהיו משפטים נכונים אבל בלתי ניתנים להוכחה.  גם אם נוסיף אקסיומות, תמיד יהיו משפטים כאלה, שאי-אפשר להכריע אם הם נכונים או לא. הוכחת משפט גדל היא ארוכה וטכנית, אבל הרעיון בבסיסה הוא פשוט. גדל הצליח לנסח בשפה פורמלית משפט שאומר: אי-אפשר להוכיח אותי. אם משפט זה אינו נכון אז אפשר להוכיח אותו, ואז הוא בהכרח נכון, סתירה. לכן משפט זה נכון. לכן גם אי-אפשר להוכיח אותו. משפט כזה נקרא בלתי תלוי (באקסיומות).

איור: מייקל פאוקנר Michael Paukner ©

דוגמאות יותר טבעיות ופחות רפלקסיביות למשפטים כאלה נמצאו בהמשך – למשל, בתורת הקבוצות. גיאורג קנטור הגדיר מספרים אינסופיים שונים בעלי עוצמות שונות. הרעיון מאחורי ההגדרה הוא פשוט אך מהפכני: שתי קבוצות הן שוות עוצמה אם יש התאמה חד חד ערכית  בין אבריהן. קנטור הגדיר יחס סדר בין עוצמות, ושיער שבין האינסוף הקטן ביותר (עוצמת קבוצת המספרים הטבעיים) לאינסוף שנקרא רצף (עוצמת קבוצת המספרים הממשיים) אין אף עוצמה. השערה זו נקראת השערת הרצף, ורבים ניסו להוכיח אותה תוך שימוש באקסיומות תורת הקבוצות.

בשנות הארבעים של המאה העשרים הראה גדל שלא ניתן להפריך השערה זו (על-ידי בניית עולם שבו השערה זו נכונה). בשנות השישים של המאה העשרים פיתח פול כוהן שיטה מהפכנית שנקראת כפייה; תוך שימוש בה הוא בנה עולם שבו השערת הרצף אינה נכונה, ומכאן הסיק שהיא אינה ניתנת להוכחה. לשיטת הכפייה נמצאו מיד שימושים רבים נוספים, והיא הפכה למכשיר עיקרי בהוכחות אי-תלות. טכנית, שיטת הכפייה היא מורכבת וקשה לתיאור כאן, אולם רעיונית, אפשר לראות אותה כדרך לכפיית רצון על העולם.    

סוף דבר

קיומן של טענות שאינן ניתנות להוכחה או להפרכה, מפריד את מושג האמת במתמטיקה ממושג היכיחות ומדגים את מוגבלות ההוכחה הפורמלית ואת הקושי העקרוני העומד בפני התכנית השאפתנית להצרנת כל ענפי המתמטיקה. עם זה, ההוכחה היא עדיין כלי מרכזי במתמטיקה, והוכחות חדשות ומשפטים חדשים מתגלים מדי יום. העובדה שלא הכול יכיח, עדיין מותירה ספקטרום אינסופי של טענות יכיחות ושל הוכחות ודאיות ובעלות יופי רב. הוודאות במתמטיקה אכן עולה, לדעתי, על הוודאות בכל תחום אחר.

בניגוד לתפיסה האפלטונית של עולם אידיאות אחד, אוניברסלי, ושל המתמטיקאי כמגלה אמיתות קיימות בעולם, ניתן לדבר במתמטיקה המודרנית על הרבה עולמות אפשריים, ועל המתמטיקאי כבורא עולמות חדשים. בתהליך בריאה כזה מעורבות לא רק הוכחות, אלא גם בחירת אקסיומות חדשות, ניסוח שאלות ויצירת שפה ועולם מושגי חדש. אלה פעילויות מהותיות במתמטיקה שלא מרבים לדבר בהן.

רבים מתייחסים בפסימיות למשפט גדל, המדגים את מגבלות השיטה הדדוקטיבית הפורמלית, אולם לדעתי, אלה אינן בהכרח חדשות רעות. משפט גדל מראה שהאמת המתמטית אינה ניתנת לחשיפה על-ידי אוטומטים, אלא על-ידי בני אדם.  

בניגוד למחשבים, לבני אדם יש לא רק יכולת דדוקטיבית, אלא גם רצון, דמיון, יכולת בחירה ותחושות אסתטיות.  כל המרכיבים האלה באים לידי ביטוי במתמטיקה. למשל, הצורך לבחור מערכת אקסיומות ולהגדיר מבנים מתמטיים חדשים, שהם תולדה של דמיון ויופי. אפשר לפתח תורות מתמטיות רבות שכולן יהיו תקפות מבחינה לוגית, אבל מה שגורם לתורה אחת להתקבל ולהתפתח ולאחרת להישכח, שייך גם לתחום האסתטי ולקיום (או להיעדר) קשרים מפתיעים עם תורות אחרות. קיומן של טענות בלתי תלויות (כמו השערת הרצף) מדגים גם את החופש שניתן למתמטיקאי (למשל, להוסיף השערה זו כאקסיומה ולבדוק את תוצאותיה), ואת המרכיב של רצון ובחירה במושג האמת. מבחינות אלה, מתמטיקה היא מדע רוח לא פחות (ואולי יותר) ממדע טבע, וכל דבר אנושי אינו זר לה.